Алфавит MathCAD 7. 0 PRO

Алфавит MathCAD 7. 0 PRO

Алфавит входного языка системы определяет совокупность символов и слов, которые используются при задании команд, необходимых для решения интересующего пользователя класса задач. Алфавит системы MathCAD содержит:

• строчные и прописные латинские буквы;

• строчные и прописные греческие буквы;

арабские цифры от 0 до 9;

системные переменные;

операторы;

имена встроенных функций;

спецзнаки;

строчные и прописные буквы кириллицы (при работе с русифицированными документами).

К укрупненным элементам языка относятся типы данных, операторы, функции пользователя и управляющие структуры. Все эти элементы присущи и любому другому языку программирования.

К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа. По числу типов данных система MathCAD несколько уступает современным языкам программирования (к примеру, в ней нет данных типа записей, множеств и др.). Это связано с определенной специализацией языка, направленной на математические расчеты общего характера. Впрочем, тенденция расширения типов данных в MathCAD налицо; в конце этой главы описан новый тип данных (строковые), которые появились в MathCAD 7. 0 PRO.

Арифметические операторы

Арифметические операторы предназначены для выполнения арифметических действий над численными величинами и конструирования математических выражений. Система MathCAD содержит следующие арифметические операторы (приводится их форма ввода, последовательность нажатия клавиш для ввода и условное наименование операндов Х и Y):

Оператор

X: =Y X=Y Х--X X+ Y X-Y X. Y

Vx"

¦Z¦

(-) ( )

Клавиши

X: Y X-Y

X Ctrl = -X X+ Y X-Y

X* Y

X/Y X^

¦Z

( )

Назначение оператора

Локальное присваивание X значения Y Глобальное присваивание Х значения Y Вывод значения Х Смена знака Х Суммирование Х с Y Вычитание из Х значения Y Умножение Х на Y

Деление Х на Y Возведение Х в степень Y

Вычисление квадратного корня из Х Вычисление факториала Вычисление модуля комплексного Z Вычисление комплексно-сопряженного с Z числа Ввод пары круглых скобок с шаблоном Ввод открывающей скобки Ввод закрывающей скобки

Базовые понятия входного языка системы

11. 1. Базовые понятия входного языка системы

Система MathCAD практически избавляет нас от необходимости программировать решение многих задач. Уходит в прошлое подход, когда пользователь, прежде чем вычислить определенный интеграл или производную заданной функции либо просто рассчитать ряд ее значений, был вынужден изучать основы программирования на Фортране, Бейсике или Паскале, а затем составлять свои простенькие и не очень надежные программы или же разыскивать их в статьях и книгах, подобных [2], и самостоятельно загружать эти программы в ПК.

Впрочем, нельзя не отметить, что такие программы (если они составлены корректно и профессионально) обеспечивают существенно большую скорость проведения вычислений, чем MathCAD. Однако время, необходимое на их создание, намного превышает время на подготовку задач к решению в системе MathCAD.

MathCAD прежде всего требует от пользователя корректного описания алгоритма решения математической задачи на входном языке, очень напоминающем общепринятый язык описания математических и научно-технических расчетов. Естественно, это описание должно быть исчерпывающе полным и абсолютно точным. Тем не менее сказанное не означает, что решение задач в системе MathCAD нельзя назвать программированием. Просто MathCAD обладает специализированным входным языком программирования очень высокого уровня, ориентированным на математические расчеты.

Поэтому, рассматривая входной язык системы как язык программирования, мы можем выделить в нем типичные понятия и объекты, такие, как идентификаторы, константы, переменные, массивы и другие типы данных, операторы и функции, управляющие структуры и т. д. Четкое представление об их возможностях и правилах применения (синтаксисе) весьма полезно при решении задач умеренной и высокой сложности.

Ниже описан входной язык системы MathCAD PLUS 7. 0. Он содержит все операторы и функции, которые были во всех предшествующих версиях системы - MathCAD 3. 0/4. 0/5. 0/ PLUS 5. 0/6. 0/PLUS 6. 0 PRO, что позволяет использовать материал этой главы пользователям, работающим с любой из указанных версий. Для этого в приведенных ниже изображениях экрана, как правило, удалены элементы интерфейса, характерные для MathCAD 7. 0 PRO. Функции, имеющиеся только в профессиональных версиях (с приставкой PRO в названии), выделены символом Ф.

Числовые функции с условиями сравнения

Числовые функции с условиями сравнения

К числовым функциям с условиями сравнения относятся:

ceil(x) — наименьшее целое, большее или равное x,, floor(x) — наибольшее целое, меньшее или равное х;

mod(x,y) — остаток от деления х/у со знаком х;

angle(a,y) — положительный угол с осью х для точки с координатами (х,у)', Ф(х) — функция Хевисайда — единичного скачка (дает 0 при х<0 и 1 в

противном случае);

d(m,n) — функция, именуемая символом Кронекера, возвращающая 1

при т=п и 0 в противном случае. Назначение этих функций довольно очевидно. К примеру, функция Хевисайда может использоваться для задания импульса с шириной w.

pulse(t.w) := Ф(t) - Ф(t-w)

Функцию Хевисайда можно также использовать для создания указанных ниже логических функций, которых нет в системе MathCAD:

not(a):=Ф(.5-l) — функция логического отрицания NOT;

and(a,b):= Ф(а*Ь-.5) — функция логического перемножения AND;

or(a,b):= Ф(а+Ь-.5) — функция логического сложения OR.

Эти функции используются с параметрами а и Ь, которые имеют логические значения 0 (FALSE) и 1 (TRUE). Функции возвращают результат (О или 1) в соответствии с таблицами истинности логических функций NOT, AND и OR. Аналогичным образом можно задать и другие логические функции.

Числовые константы

Числовые константы

Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. В качестве имени числовых констант используются их числовые значения (к примеру, значения констант 0 и 1 есть соответственно ноль и единица). В системе MathCAD используются и числовые константы, значениями которых являются числа с разной системой исчисления: десятичные, восьмеричные или шестнадцатеричные.

Числовые константы задаются с помощью арабских цифр, десятичной точки (а не запятой) и знака - (минус). Например:

123 — целочисленная десятичная константа;

12. 3 — десятичная константа с дробной частью;

12. 3* 10-5 —десятичная константа с мантиссой (12. 3) и порядком-5.

Эти формы представления числовых констант естественны, и их не стоит обсуждать, за исключением двух важных аспектов. Порядок числа вводится умножением мантиссы на 10 в степени, определяющей порядок. Во многих языках программирования принят ввод чисел в виде 12. 3е-5, где разделительный символ е указывает на порядок. Этот не вполне естественный для математики ввод числа в системе MathCAD устранен.

Далее надо отметить, что знак умножения* при выводе числа на экран меняется на привычную математикам точку, а операция возведения в степень (с применением спецзнака ^) отображается путем представления порядка в виде надстрочного элемента. Десятичные числа имеют основание 10. Диапазон их возможных значений лежит в пределах от 10^07 до 10^307 (это машинная бесконечность и машинный ноль).

Данные файлового типа

11 .4. Данные файлового типа

Еще один важный тип данных системы MathCAD — файловые данные В сущности, это те же векторы и матрицы, но с элементами, которые могут записываться в виде файлов, имеющих свои имена. Файлы данных в системе представляет собою запись матриц в их естественной форме как последовательных текстовых файлов. Это простейший тип файлов, который легко обрабатывается в программах на различных языках программирования и может создаваться такими программами, благодаря чему возможен обмен данными между системой MathCAD и другими программами.

В ходе создания файла система считывает значения элементов векторов и матриц поэлементно (для матриц слева направо и сверху вниз) и по ходу считывания преобразует числовые значения элементов в их символьные эквиваленты, использующие ASCII-коды цифр и символы, относящиеся к заданию чисел. Эти символьные значения и записываются в виде данных файлов.

Существует семь файловых операций, рассматриваемых ниже. Создаваемые или используемые ими файлы легко просмотреть любым текстовым редактором, воспринимающим тексты в виде ASCII-кодов. При считывании файлов система обеспечивает обратное преобразование символьных представлений значений элементов в их числовые значения. Начнем рассмотрение этих операций с операции считывания файла, содержащего данные векторы.

1. READ (Имя_файла)

Эта операция-функция считывает данные из файла с указанным именем Имя_файла и возвращает значение — вектор. Обычно она используется для присваивания значений векторам, например:

V: = READ (DATA)

Здесь элементы вектора V получают значения, считанные из файла с именем DATA. Естественно, что такой файл должен существовать на диске, иначе ситуация будет считаться ошибочной. Для указания полного имени файла (если он не в текущем каталоге системы) следует использовать общеупотребительные для MS-DOS составные имена, например D: \EXPER\DATA, если файл DATA расположен на диске D в каталоге EXPER.

2. WRITE (Имя_файла)

Эта операция записывает данные в файл и присваивает ему указанное имя. Данные могут порождаться математическим выражением, например:

WRITE (Имя_файла): = Выражение

Разумеется, выражение должно создавать данные векторного типа.

3. APPEND (Имя_файла)

Эта операция подобна операции WRITE, но она дописывает данные в конец уже существующего файла. Нельзя использовать другие функции для до-писывания данных, поскольку эти функции уничтожают прежние данные в файле и заносят новые.

4. READPRN (Имя_файла)

Эта операция подобна READ, но считывает данные в виде двумерного массива — матрицы. Функция READPRN возвращает матрицу, значения элементов которой однозначно связаны со значениями элементов файла. Точнее, каждая строка или столбец возвращаемой матрицы подобны соответствующим строкам или столбцам текстового представления файла.

5. WRITEPRN (Имя_файла)

Эта операция подобна WRITE, но применяется для записи матричного выражения (или матрицы) в файл с указанным именем. Структура файла подобна структуре матрицы.

6. APPENDPRN (Имя_фaйлa)

Демонстрирует типовые операции с данными файлового типа.

Рис. 11.5 демонстрирует типовые операции с данными файлового типа.

Динамика протекания процесса эпидемии

Рис. 11.37 Динамика протекания процесса эпидемии

Возможны и более сложные реализации итерационных вычислений. Например, к ним сводится решение систем дифференциальных уравнений численными методами Эйлера, Рунге — Кутта и др.

Директива Given для подготовки блока решения системы уравнений

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом — директивой Given — и имеющий следующую структуру:

Ограничительные условия Выражения с функциями find и minerr

Рекомендуется дополнить блок проверкой решения системы.

Дополнительные матричные функции

В профессиональные версии MathCAD включен ряд дополнительных матричных функций Они перечислены ниже.

eigenvals(M) — возвращает вектор, содержащий собственные значения матрицы М,

eigenvec(M,Z) для указанной матрицы М и заданного собственного значения Z возвращает принадлежащий этому собственному значению вектор,

eigenvecs(M) — возвращает матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы М (порядок расположения собственных векторов соответствует порядку собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals),

genvals(M,N) — возвращает вектор обобщенных собственных значений v1 соответствующий решению уравнения M-x=v,-N-x (матрицы М и N должны быть вещественными),

genvals(M,N) — возвращает матрицу, столбцы которой содержат нормированные обобщенные собственные векторы,

Ф1и(М) — выполняет треугольное разложение матрицы М- P-M=L-U, L и U — соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы Все четыре матрицы квадратные, одного порядка;

Фqr(A) — дает разложение матрицы A, A=Q-R, где Q, — ортогональная матрица и R — верхняя треугольная матрица,

(Bsvd(A) — дает сингулярное разложение матрицы А размером n m A*S*VТ где U и V — ортогональные матрицы размером m m и n n соответственно, S - диагональная матрица, на диагонали которой расположены сингулярные числа матрицы А,

Фsvds(A) — возвращает вектор, содержащий сингулярные числа матрицы А размером т-п, где т>п;

Egeninv(A) - возвращает матрицу левую обратную к матрице А.

L-A=E, где Е — единичная матрица размером п* п, L — прямоугольная матрица размером n-rn, A — прямоугольная матрица размером п*п.

Дополнительные неактивные функции

При загрузке символьного процессора система распознает ряд дополнительных специальных функций, например:

Ег(х) — интегральная показательная функция;

erf(z) — интеграл ошибок для комплексного аргумент z;

К сожалению, статус этих функций необычен, они могут фигурировать в результатах символьных операций, но недоступны для обычных операций. Эти функции не обладают свойством эволюции, т. е. они не активны. Например, невозможно вычислить значения функций при подстановке в них числового значения аргумента и применении знака = для вывода результата вычислений. Однако, используя известные (в основном интегральные) представления для этих функций, их можно определить как функции пользователя. Выражения с неактивными функциями MathCAD размещает в буфере обмена, и их можно извлечь оттуда для обозрения.

Здесь не приводятся представления для этих функций, поскольку их легко найти в справочной системе помощи MathCAD либо в литературе, например в [14, 21]. В связи с особым статусом данного класса функций их имена не выделены жирным шрифтом.

Двумерная линейная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация

Для повышения качества построения 3D-графиков имеется возможность осуществления двумерной сплайн-интерполяции. Это позволяет существенно повысить представительность сложных графиков 3D-функций, в том числе контурных (см. рис. 11.20).

На этом рисунке слева показан контурный график после проведения двумерной сплайн-интерполяции, а справа — без нее (с применением линейной

Единицы измерения

В системе может применяться особый вид констант — единицы измерения размерных величин. Помимо своего числового значения они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. Для этого указания используется символ умножения. В системе MathCAD заданы следующие основные типы физических величин: time (время), length (длина), mass (масса) charge (заряд) и др. При необходимости их можно изменить на другие.

Функции альтернативного преобразования Фурье

Помимо описанных функций MathCAD содержит ряд функций альтернативного преобразования Фурье. Они записываются прописными буквами: FFT, IFFT, CFFT и ICFFT. При альтернативном преобразовании используются иные нормирующие множители. Выражения, определяющие суть преобразований Фурье, можно легко найти в справочной базе данных системы (поэтому здесь они не приводятся).

Функции Бесселя

К важнейшим встроенным специальным математическим функциям принадлежат функции Бесселя, являющиеся решениями дифференциального уравнения второго порядка:

Здесь п — порядок функции (рассматриваются функции только целого порядка при действительном х). Функции Бесселя описывают колебательные процессы и широко используются в физике и электро- и радиотехнике. Приведенное уравнение имеет решения в виде функций Бесселя Jn(x) первого рода и Yn(:c) второго рода.

Существуют также модифицированные функции Бесселя, которые являются решениями следующего дифференциального уравнения:

Эти функции также представлены функциями первого рода 1п(x) и второго рода Кп(х).

Функции Бесселя используются с вещественным аргументом. Ниже приведен список функций Бесселя, вычисление которых реализовано в системе MathCAD:

j0(х) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка;

I0(х) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка;

Y0(x) — функция Бесселя второго рода нулевого порядка;

К0(х) — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка;

J1(x) — функция Бесселя первого рода первого порядка;

I1(x) — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка;

Y1(x) — функция Бесселя второго рода первого порядка;

К1(х) — модифицированная функция Бесселя второго рода первого порядка;

Jn(n,x) — функция Бесселя первого рода п-го порядка;

1п(п,к) — модифицированная функция Бесселя первого рода п-го порядка;

Yn(n,c) — функция Бесселя второго рода п-го порядка;

Кп(n,x) — модифицированная функция Бесселя второго рода п-го порядка.

Функции для линейной регрессии

Другой широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией у(х). Задача регрессии заключается в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала облако исходных точек (заданных векторами VX и VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Чаще всего используется линейная регрессия, при которой функция у(х) имеет вид

и описывает отрезок прямой. К линейной регрессии можно свести многие виды нелинейной регрессии при двупараметрических зависимостях у(х).

Для проведения линейной регрессии в систему встроен ряд приведенных ниже функций:

corr(VX, VY) — возвращает скаляр — коэффициент корреляции Пирсона;

intercrpt(VX, VY) — возвращает значение параметра а (смещение линии регрессии по вертикали);

slope(VX, VY) — возвращает значение параметра b (наклона линии регрессии).

На рис. 11.23 показан пример проведения линейной регрессии для данных, представленных значениями элементов в векторах VX и VY.

Функции для одномерной и многомерной полиномиальной регрессии

Введена в новую версию MathCAD и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома регрессии

Она возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией interp(VS,VX,VY,x), содержащий коэффициенты многочлена п-й степени, который наилучшим образом приближает «облако» точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY

На рис 11 25 показан пример выполнения полиномиальной регрессии Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix

Функции для решения дифференциальных уравнений

Начиная с версии 5.0 в систему была введена возможность решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями в численном виде. Эту возможность трудно переоценить, так как многие серьезные научно-технические задачи (особенно относящиеся к анализу динамических систем и к их математическому моделированию) базируются на численных методах решения систем дифференциальных уравнений.

Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность их решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что и позволяет MathCAD.

В прежних версиях MathCAD пользователю приходилось самостоятельно составлять документы с решением таких уравнений, например, методом Эйлера или Рунге — Кутта, что было делом не очень простым. К тому же решение загромождало текст документа. Теперь эта проблема решена, и довольно изящно.

Функции для решения дифференциальных уравнений Пуассона и Лапласа

Для решения дифференциальных уравнений Пуассона (в частных производных второго порядка) и уравнений Лапласа в систему введены следующие функции:

Фbvalfit(vl, v2, х1, х2, xi, — устанавливает начальные условия для F, LI, L2, score) краевой задачи, заданной в векторах F, vl и v2

на интервале от х1 до х2, где решение известно в некоторой промежуточной точке xi;

Фге1ах(М1, М2, МЗ, — возвращает квадратную матрицу решения М4, М5, A, U, г) уравнения Пуассона для спектрального радиуса г, Фmultigrid(M, п) — возвращает матрицу решения уравнения Пуассона, у которого решение равно нулю на границах;

sbval(y, х1, х2, F, L.,score) — дает установку начальных условий для краевой задачи, определенной в символьном векторе F; вектор у — начальные условия на интервале от х1 до х2.

Функции для решения жестких систем дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, записанная в матричной форме у=А-х, где А — почти вырожденная матрица, называется жесткой. Для решения жестких дифференциальных уравнений в последние версии MathCAD введен ряд функций:

Фbulstoer (у, x1, x2, — возвращает матрицу решения системы обыкновен-асс, n, F, k, s) ных дифференциальных уравнений, правая часть которых записана в символьном векторе F с заданными начальными условиями в векторе у, на интервале от x1 до x2. Используется Bulirsch-Stoer-метод решения с переменным шагом. Параметры k и s задают максимальное число промежуточных точек, на которых ищется решение и минимально допустимый интервал между ними;

Ф Stiffb — возвращает матрицу решений жесткого дифферен-(у, х1, х2, п, F, J) циального уравнения, записанного в F и функции

Якобиана J; у - вектор начальных значений на интервале от х1 до х2. Для решения используется Bulirsch-Stoer-метод;

Ф stiffb (у, х1, х2, — возвращает матрицу решений только в конечной асc, п, F, J, k, s) точке жесткого дифференциального уравнения, записанного в F и функции Якобиана J; у — вектор начальных значений на интервале от х1 до х2. Для решения используется метод Bulirsch-Stoer с переменным шагом;

Ф Stiffr(y, х1, х2, — возвращает матрицу решений дифференциального п, F, J) уравнения, записанного в F и функции Якобиана

J; у — вектор начальных значений на интервале от х1 до х2. Для решения используется метод Розенброка;

Ф stiffr(y, х1, х2, — матрица решений только в конечной форме жест-асе,n, F, J, k, s) кого дифференциального уравнения, записанного в F и функции Якобиана J; у — вектор начальных значений на интервале от х1 до х2. Для решения используется метод Розенброка с переменным шагом. В приведенных функциях: асc — погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001), k — максимальное число промежуточных точек ид— минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение. Обратите внимание, что функции, начинающиеся со строчной буквы, дают решения только для конечной точки. Различаются функции также и методом решения.

Функции для решения краевых задач

Для решения двухточечных краевых задач предназначены функции

В них векторы v, vl, v2 задают начальные условия; х, х1, х2 — граничные точки интервала решений; D(х,у) — функция, возвращающая п-компонент-ный вектор с первыми производными неизвестных функций, \oad(x1,v), \oadi(x1,vi), load2(;c2,v2) — векторзначные функции, возвращающие значения начальных условий в точках х1 (х2); score(xf,y) — векторзначная функция, возвращающая п-элементный вектор соответствия. Вектор указывает, насколько значения решений, начинающихся из точек х1 и х2, должны соответствовать xf. Например, если нужно совпадение решений, то score(xf, у):=у.

Большое число примеров на решение дифференциальных уравнений с описанными функциями дается в подсказках QuickSheets, размещенных в центре ресурсов.

Функции для решения нелинейных уравнений и систем

Функции для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения задач такого класса в MathCAD введен ряд функций. Вначале остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

rkadapt — возвращает матрицу, содержащую таблицу (у, х1, х2, асc, п, F, k, s) значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге — Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n — число шагов, k — максимальное число промежуточных точек решения и s — минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt(y, х1, х2, п, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге — Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2', п - число шагов;

rkfixed(y, х1, х2, п, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге —

Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п.

Функции find и minerr для решения систем нелинейных уравнений

В блоке используется одна из следующих двух функций:

find(vl, v2, ..., vn) — возвращает значение одной или ряда переменных

minerr(vl, v2, ..., vn) — возвращает значение одной или ряда переменных

для приближенного решения. Между этими функциями существуют принципиальные различия. Первая функция используется, когда решение реально существует (хотя и не является аналитическим). Вторая функция пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения.

Функции прямого и обратного преобразований Фурье

К фундаментальным положениям математики относится возможность представления периодических (а при определенных условиях и непериодических) функций совокупностью их гармонических составляющих в виде так называемого ряда Фурье [14]. Эта возможность используется во множестве прикладных сфер применения. Достаточно отметить, что на ее основе реализуется передача через каналы связи практически любой информации, например речи или музыки.

Функции распределения

Эти функции дают вероятность того, что случайная величина будет иметь значения, меньшие или равные определенной величине. Они представлены ниже (смысл и значения параметров были указаны ранее):

Ф pbeta(x, s1, s2) — значение в точке х функции стандартного нормального распределения;

pbinom(^, п, р) — значение функции распределения биномиального закона для k успехов в серии п испытаний;

Ф pcauchy(x, /, s) — значение в точке х функции распределения Коши со шкалой параметров / и s;

pchisq(x, d) — значение в точке х кумулятивного {Хи-квадрат-распре-деления, в котором d - степень свободы;

Ф рехр(х, r) — значение в точке х функции экспоненциального распределения;

pf(x, d1, d2) — значение в точке х функции распределения Фишера;

Ф pgamma(x, s) — значение в точке х функции гамма-распределения;

Ф pgeom(k, р) — значение в точке х функции геометрического распределения;

Ф plnonn(x, m, о) — значение в точке х функции логнормального распределения;

Ф plogis(;c, /, s) — значение в точке х функции последовательного распределения;

plnonn(:c, jU, о) — значение в точке х функции нормального распределения;

Ф pnbinom(k, п, р) — значение в точке х функции отрицательного биномиального распределения;

ppois(k, Л) — значение для k функции распределения Пуассона;

pt(x, d) — значение в точке х функции распределения Стьюдента;

punif(x, a, b) — значение в точке х функции равномерного распределения;

Ф pweibull(x, s) — значение в точке х функции распределения Вейбулла.

Функции с условиями сравнения

Существует ряд встроенных функций, у которых возвращаемый ими результат зависит от знака или значения аргумента. Так, при их вычислении производится сравнение аргумента с некоторыми числовыми константами, например с нулем или целыми числами. Ниже представлены такие функции.

Функции сглаживания данных

Данные большинства экспериментов имеют случайные составляющие погрешности. Поэтому часто возникает необходимость статистического сглаживания данных. Ряд функций MathCAD предназначен для выполнения операций сглаживания данных различными методами (в их названии имеется слово smooth - гладкий). Вот перечень этих функций:

medsmooth(VY,n) — для вектора с т действительными числами возвращает т-мерный вектор сглаженных данных по методу скользящей медианы, параметр п задает ширину окна сглаживания (п должно быть нечетным числом, меньшим т),

Ф ksmooth(VX, VY, b) — возвращает n-мерный вектор сглаженных VY, вычисленных на основе распределения Гаусса. VX и VY — п-мерные векторы действительных чисел Параметр b (полоса пропускания) задает ширину окна сглаживания (b должно в несколько раз превышать интервал между точками по оси х),

Ф supsmooth(VX, VY) — возвращает и-мерный вектор сглаженных VY, вычисленных на основе использования процедуры линейного сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей с адаптивным выбором k. VX и VY — и-мерные векторы действительных чисел Элементы вектора VX должны идти в порядке возраст ания На рис 11 28 показан пример применения функции subsmooth(X,Y), ко

торая выполняет сглаживание функции Y(X), представленной векторами Х и

Y координат ее точек Обратите внимание на применение и другой функции —

sort(Y), сортирующей данные векторов, что иногда уменьшает погрешности

Функции сортировки для векторов и матриц

Начиная с третьей версии в системе MathCAD появились некоторые дополнительные функции сортировки — перестановки элементов векторов и матриц:

sort(V) — сортировка элементов векторов в порядке возрастания их значений;

reverse(V) — перестановка элементов (после sort) в обратном порядке;

csort(M,n) — перестановка строк матрицы М таким образом, чтобы отсортированным оказался п-й столбец;

rsort(M,n) — перестановка столбцов матрицы М таким образом, чтобы отсортированной оказалась п-я строка.

Примеры применения дополнительных векторных и матричных функций

На рис. 11.17 представлены примеры, иллюстрирующие работу некоторых дополнительных векторных и матричных функций.

Функции создания векторов m различными законами распределения

Последняя группа статистических функций служит для создания векторов с определенными законами распределения значений их элементов:

Ф rexp(m, r) — экспоненциальное распределение, rF(m, d1, d2) — распределение Фишера;

Ф rlnorm(m, /л, сг) — логарифмическое нормальное распределение;

Ф rlogis(m, /, s) — последовательное распределение;

Ф mbinom(m, n, p) — негативное биномиальное распределение;

Функции волновых дискретных преобразований

В системы MathCAD 6.0/7.0 включены еще две функции дискретных волновых преобразований:

Ф wave(V) — дискретное волновое преобразование действительных чисел с использованием четырехкоэффициентного волнового базиса Даубечи. Вектор V должен содержать 2" действительных значений, где п - целое число;

Ф iwave(V) — обратное преобразование относительно преобразования wave

Это довольно редкие функции, представляющие интерес для специалистов — разработчиков электронных фильтров.

Функции, возвращающие специальные характеристики матриц

Специальные характеристики матриц возвращаются следующими функциями:

cols(M) — возвращает число столбцов матрицы М;

tr(M) — возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной

mean(M) — возвращает среднее значение элементов массива М;

median(M) — возвращает медиану элементов массива М;

condl(M) — возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в

cond2(M) — возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в

conde(M) — возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное

condi(M) — возвращает число обусловленности матрицы, основанное на

поппе(М) — возвращает евклидову норму матрицы М;

normi(M) — возвращает неопределенную норму матрицы М.

Функции встроенные и задаваемые пользователем

MathCAD имеет множество встроенных функций, которые обладают особым свойством: в ответ на обращение к ним по имени с указанием аргумента (или списка аргументов) они возвращают некоторое значение — символьное, числовое, вектор или матрицу. В систему встроен ряд функций, например функция вычисления синуса sin (x) аргумента х, логарифма \п (х) и т. д. Наряду со встроенными функциями могут задаваться и функции пользователя, отсутствующие в MathCAD. Благодаря встроенным функциям обеспечивается расширение входного языка системы и его адаптация к задачам пользователя.

Функции вычисления плотности вероятности распределения

Функции вычисления плотности вероятности распределения представлены

Ф dbeta(x, s1, s2) —B-распределение (s1, s2>0 — параметры формы, 0<x<1);

dbinom(k, п, р) — биномиальное распределение (возвращает значение вероятности P(x=k), где п и k целые числа, причем 0<k<n и0<р<1);

Ф dcauchy(x, L, s) — распределения Коши (L — параметр разложения, s>0 — параметр масштаба);

dchisq(x, d) — Хи-квадрат-распределение (х, d>0, причем d — число степеней свободы);

Ф dexp(x, r) — экспоненциальное распределение (г, х>0);

dF(x, d1, d2) — распределение Фишера (d1, d2>0 — числа степеней свободы, х>0)',

Ф dgamma(x, s) — гамма-распределение (s>0 — параметр формы, х>0);

Ф dgeom(k, р) — геометрическое распределение (0<p<^i — вероятность успеха в отдельном испытании, k — целое неотрицательное число);

Ф dlnorm(x, р., о") — логнормальное распределение (р. — натуральный логарифм среднего значения, о">0 — натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения, х>0)',

Ф dlogis(x, /, s) — логистическое распределение (/ — параметр разложения, s>0 — параметр масштаба);

Ф dnbinom(^, п, р) — отрицательное биномиальное распределение (и>0 и k>0 — целые числа, 0<p<i);

dnorm(x, р., а) — нормальное распределение (^ — среднее значение,

dpois(k. Л) — распределение Пуассона (А>0, k — целое неотрицательное число);

dt(a', d) — распределение Стьюдента (d>0 — число степеней свободы, х — вещественное число);

dunif(-c, а, Ь) — равномерное распределение (а и b — граничные точки интервала, причем а<Ь и а<х<Ь);

Ф dweibull(x, s) — распределение Вейбулла (s>0 — параметр формы).

Функция для линейной регрессии общего вида

В MathCAD реализована возможность выполнения линейной регрессии общего вида При ней заданная совокупность точек приближается функцией вида

Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x), ., Fn(x), причем сами эти функции могут быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции

Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit(VX,VY,F) Эта функция возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек, если их координаты хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x), , Fn(x), записанные в символьном виде

Рис 11 24 поясняет проведение линейной регрессии общего вида с применением функции Unfit Процедура проведения вычислений настолько проста, что не нуждается в особых комментариях

Функция для нелинейной регрессии общего вида

Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К параметров произвольной фучнкции F(x,K1,K2,...,Kn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек.

Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция genfit(VX, VY, VS, F). Эта функция возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией Р(х,К1,К2,...,Кп) исходных данных.

F должен быть вектором с символьными элементами, содержащими уравнение исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.

На рис. 11.27 показан пример выполнения нелинейной регрессии общего вида для нелинейной функции F(x,a,b)=a-exp(-b-x)+a-b.

Функция поиска корней многочлена polyroots

Для поиска корней обычного полинома р(х) степени п MathCAD содержит очень удобную функцию:

Она возвращает вектор корней многочлена (полинома) степени п, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину равную п+1.

Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Не рекомендуется пользоваться этой функцией, если степень полинома выше пятой-шестой, так как тогда трудно получить малую погрешность вычисления корней. На рис. 11.30 в конце документа приведен пример вычисления корней кубического полинома с применением функции polyroots.

Функция поиска корня нелинейного уравнения root

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с )аданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной TOL). Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью функции

Эта функция возвращает значение переменной с указанным уровнем, при котором выражение дает 0. Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможно несколько решений. Тогда выбор решения определяется выбором начального значения переменной.

Алфавит MathCAD 7. 0 PRO

Арифметические операторы

Базовые понятия входного языка системы

Числовые функции с условиями сравнения

Числовые константы

Данные файлового типа

Демонстрирует типовые операции с данными файлового типа.

Динамика протекания процесса эпидемии

Директива Given для подготовки блока решения системы уравнений

Дополнительные матричные функции

Дополнительные неактивные функции

Двумерная линейная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация

Единицы измерения

Функции альтернативного преобразования Фурье

Функции Бесселя

Функции для линейной регрессии

Функции для одномерной и многомерной полиномиальной регрессии

Функции для решения дифференциальных уравнений

Функции для решения дифференциальных уравнений Пуассона и Лапласа

Функции для решения жестких систем дифференциальных уравнений

Функции для решения краевых задач

Функции для решения нелинейных уравнений и систем

Функции для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Функции find и minerr для решения систем нелинейных уравнений

Функции прямого и обратного преобразований Фурье

Функции распределения

Функции с условиями сравнения

Функции сглаживания данных

Функции сортировки для векторов и матриц

Функции создания векторов m различными законами распределения

Функции волновых дискретных преобразований

Функции, возвращающие специальные характеристики матриц

Функции встроенные и задаваемые пользователем

Функции вычисления плотности вероятности распределения

Функция для линейной регрессии общего вида

Функция для нелинейной регрессии общего вида

Функция поиска корней многочлена polyroots

Функция поиска корня нелинейного уравнения root

Функция предсказания

Функция root в составе функции пользователя

Функция until и ее применение

Функция условных выражений if

Гамма-функция

Иллюстрирует подготовку вектора...

Иллюстрирует решение другой задачи...

Индексация элементов массивов

Комплексные числа

Квантили распределения

Линейная и сплайновая аппроксимации функции

Линейная регрессия

Локальные переменные в теле функций пользователя

Массивы-векторы

Математические выражения

Матричные функции

Матрицы

Обратное преобразование Фурье

Одномерная линейная аппроксимация

Одномерная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация

Операция векторизации

Операторы

Операторы отношения (логические операторы)

Основные операции с данными файлового типа

Особенности локального и глобального присваивания переменным их числовых значений

Переменные

Полиномиальная регрессия

Понятие о массивах

Применение БПФ для спектрального разложения и синтеза прямоугольного импульса

Применение функции if

Применение функции предсказания — экстраполяции

Применение операторов для работы с векторами

Применение ранжированных переменных

Пример двумерной сплайн-интерполяции...

Пример проведения линейной регрессии общего вида

Пример регрессии отрезками полиномов второй степени

Пример решения простой некорректной задачи

Пример решения системы рекуррентных уравнений

Пример выполнения нелинейной регрессии общего вида

Примеры линейной и сплайновой аппроксимаций

Примеры матричных операций (конец)

Примеры на преобразование Фурье