Классификация математических моделей

Математическое моделирование можно разделить на аналитическое и имитационное. При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов системы записываются в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и др. соотношений и логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

аналитическим, когда стремятся найти явные зависимости для искомых характеристик;

численным (получаются числовые значения ответных параметров для заданных входных данных).

Получить аналитическое решение обычно удается лишь после упрощающих предположений. Его возможность весьма критична к изменениям модели. Гораздо чаще удается применить численные методы, но они дают лишь частные результаты, по которым трудно делать обобщающие выводы. При оптимизации модели необходим многовариантный счет.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются составляющие процесс элементарные явления с сохранением его логической и временной структуры. Имитационное моделирование усугубляет недостатки численного, но зато практически свободно от ограничений на класс решаемых задач. Обычная сфера его применения - сложные случайные процессы.

Перспективно комбинированное моделирование, позволяющее объединить достоинства названных подходов. Математические модели обычно классифицируют на

статические и динамические,

дискретные и непрерывные,

детерминированные, стохастические и нечеткие,

сосредоточенные и распределенные,

линейные и нелинейные,

стационарные и нестационарные.

Статическим моделям соответствуют системы с быстро затухающими переходными процессами. Динамические модели описываются более сложным математическим аппаратом - дифференциальные и разностные уравнения, конечные автоматы.

Дискретная система может находиться в состояниях из счетного (в простейших случаях конечного) множества. Эти состояния меняются только в дискретные моменты времени. Дискретные системы описываются конечными автоматами, сетями Петри, марковскими цепями. Траектории непрерывных систем определены на континуальных множествах и описываются классической алгеброй или дифференциальными уравнениями.

Выход детерминированных систем однозначно определяется их входом (при этом погрешностями любого рода пренебрегают). При значимых погрешностях и/или

186

существенных случайных воздействиях с известными вероятностными характеристиками и при статистически устойчивой картине применяется аппарат теории вероятностей и ее ответвлений (математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания и др.). Для плохо (качественно) определенных систем используются методы теории нечетких множеств. В этой теории вводятся функция степени принадлежности объекта к нечеткому множеству, правила объединения и пересечения отношений принадлежности, а также их композиции.

Содержание раздела