Основы современных компьютерных технологий
Введение в логику
Логика занимается изучением законов мышления, одной из главных ее задач является моделирование правильных человеческих рассуждений. Особый интерес к логике возник с появлением ЭВМ, с попытками научить машину рассуждать, т.е. делать логические заключения. Рассмотрим основные идеи, лежащие в основе логических рассуждений.
В логике выделяют следующие формы мышления: понятия, высказывания и рассуждения.
Понятие о предмете составляет совокупность мыслимых признаков предмета. Понятие выражается словом. Основными способами образования понятий являются:
Всякое понятие обладает содержанием - совокупностью признаков предмета в данном понятии и объёмом - совокупностью объектов, входящих в данное понятие.
По содержанию понятия делятся на положительные и отрицательные (присутствуют или нет определенные признаки в понятии), безотносительные и относительные, сравнимые и несравнимые.
В логическом отношении друг с другом находятся только сравнимые понятия. Сравнимые понятия (имеющие общие признаки в содержании) бывают совместимыми (с совпадающим объемом понятий) и несовместимыми. Выделяют три вида отношений совместимости: равнозначность, пересечение, подчинение объемов. Существуют и три вида отношений несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие.
Связь между объемом и содержанием понятий выражается в законе обратного отношения: если два понятия сравнимы в логическом смысле, и содержание первого из них больше, чем второго, тогда объем второго понятия больше объема первого. С этим законом связаны способы обобщения (переход от понятия с большим объемом и меньшим содержанием к понятию с меньшим объемом и большим содержанием) и ограничения
287
(переход от понятия с меньшим объемом и большим содержанием к понятию с меньшим содержанием и большим объемом) понятий.
Одной из основных логических операций над объемом и содержанием понятий является деление понятия. При ее выполнении различают: делимое понятие, основание деления (признаки), члены деления (множество видовых понятий по отношению к рассматриваемому). Деление бывает: по видоизменению признаков, дихотомическое (деление понятия на два класса с противоречивыми признаками).
Практическое применение операции деления понятий - процедура классификации. Цель классификации - приведение знаний о предметной области в определенным образом построенную систему, при этом основание деления должно отвечать цели классификации. Выбор классификационного признака - нетривиальная задача. Классификация, особенно при дихотомическом делении, принимает форму дерева (впервые использовалась в IV в и. э. сирийским логиком Порфирием, называется по его имени "дерево Порфирия").
Другой фундаментальной логической операцией над понятиями является определение понятия. Эта операция позволяет строго закрепить за объектом, обозначенным с помощью определяемого понятия, содержание, выраженное в зафиксированных в определении признаках, свойствах и отношениях.
Определение бывает номинальное - раскрытие смысла употребления слова - и реальное - определение понятий о предметах или явлениях, а не терминов, их обозначающих. Типы определений: через ближайший род и видовое отличие (это по сути поиск места понятия в некоторой явной или неявной форме классификации), способы задания определений: генетическое определение; операциональное определение.
Понятия являются исходным материалом для построения высказываний (суждений). С грамматической точки зрения, высказывания - это повествовательное предложение.
Сложные предложения строятся из выражений, обозначающих некоторые понятия, и логических связок. Слова и обороты НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ... ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, СУЩЕСТВУЕТ, ВСЕ и некоторые другие называются логическими связками (операторами) и обозначают логические операции, с помощью которых из одних предложений строятся другие.
Предложения без логических связок являются элементарными, их нельзя расчленить на части так, чтобы при этом каждая из частей была также предложением. Элементарные предложения называют также высказываниями (суждениями). В высказываниях содержится информация о предметах, явлениях, процессах и т.д.
Элементарное высказывание состоит из субъекта (логического подлежащего) - того, о чем идет речь в высказывании, и предиката (логического сказуемого) - того, что утверждается или отрицается в высказывании о субъекте.
Таким образом, высказывания - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается логическая связь между понятиями, выступающими в качестве субъекта и предиката данного высказывания. Соответствие или несоответствие этой связи реальности делает высказывание (суждение) истинным или ложным.
Логическая связь между субъектом и предикатом высказывания выражается обычно в виде связки ЕСТЬ или НЕ ЕСТЬ, хотя в самом предложении эта связка может отсутствовать, а лишь подразумеваться. При этом субъект высказывания может выражаться не обязательно
288
только подлежащим в предложении, так же как и предикат - не только сказуемым (это могут быть и другие члены предложения). Что считать в предложении субъектом, а что предикатом высказывания, определяется логическим ударением. Логическое ударение связано со смыслом, содержащимся в предложении для говорящего и для слушающего.
По форме высказывания делятся на простые (имеют логическую форму "S есть Р" или "S не есть Р" , где S - субъект, Р - предикат) и сложные (грамматически выражаются сложными предложениями).
Простые высказывания позволяют выразить следующие типы высказывании:
В общем случае простые высказывания можно рассматривать как атрибутивные, понимая под существованием и отношениями вид свойств субъектов высказывания.
По качеству простые высказывания делятся на утвердительные и отрицательные. По количеству высказывания делятся на:
Классы предметов, к которым относятся субъект и предикат высказывания, будем обозначать буквами S и Р соответственно.
Высказывания, одновременно общие по количеству и утвердительные по качеству называются общеутвердителъпыми и имеют форму "Всякий S есть Р"; обозначается такой тип высказывания символом А.
Высказывания, общие по количеству и отрицательные по качеству, называются общеотрицателъными и имеют форму "Всякий S не есть Р"; обозначается такой тип высказывания символом Е.
По аналогии выделяют частноутвердительные высказывания ("Некоторый S есть Р"; обозначается тип как I) и частноотрицателъпые высказывания ("Некоторый. S не есть Р"; обозначается такой высказывания тип как О).
Различают также высказывания сравнимые - имеют одни и те же субъект и предикат и несравнимые - различны субъекты и предикаты суждений.
Третья форма мышления - рассуждения. Простейшей формой рассуждений является умозаключение -получение из одного или нескольких высказываний нового высказывания. Принято считать, что из высказываний А1,А2...Аn следует высказывание В, если В истинно по крайней мере всегда, когда истинны А1 ,А2.. .Ап. При этом исходные высказывания А1,А2,...,Аn, из которых делается логический вывод, называются посылками, а повоевысказывание В - заключением, следствием.
Возможность вывода заключения из посылок обеспечивается логической связью между ними. Проверить правильность вывода из посылок можно логическими средствами без обращения к непосредственному опыту.
289
Правильные с позиций логики выводы формулируются в виде правил логического следования (правил вывод а). Правила в логике обычно записываются в виде: А1,А2...Аn ?В, здесь ? - знак логического следования; записываются правила также в виде дроби:
| A1,A2...An |
| В |
Таким образом, рассуждения - это процесс перехода от посылок к заключениям и далее от полученных заключений как новых посылок к новым заключениям. Выполняется этот процесс в виде элементарных актов, каждый из которых есть шаг вывода, на котором применяется соответствующее правило вывода, и называется он обычно логическим выводом. Число посылок в выводе, как и число его шагов, может быть различным. Вывод за один шаг применения правила вывода называют непосредственным выводом.
Логическими законами называют нуль-посылочные выводы - высказывания, для выяснения истинности которых посылки не нужны. Наиболее важными являются законы: тождества, противоречия, исключенного третьего и достаточного основания.
Закон тождества: "Объем и содержание всякого понятия должны быть зафиксированы и оставаться неизменными в течение всего процесса рассуждения." Этот закон записывается с помощью формулы А ?А, где ?- знак эквивалентности, т.е. если два понятия тождественны, то они могут быть взаимозаменяемы в логическом контексте. Буквой А здесь обозначаем переменную для высказываний или высказывательную форму.
Закон противоречия: "Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными, по крайней мере, одно из них ложно". Формульная запись закона имеет вид: ¬(A? ¬А) - "неверно, что А и не А".
Закон исключенного третьего (латинская формулировка этого закона tertium поп datur - третьего не дано) выражается формулой: A? ¬A т.е. "истинно А или не А" или словесная формулировка - если два высказывания противоречат друг другу, то одно из них истинно, а другое ложно. (Здесь ¬ - знак логического отрицания, .
? - знак конъюкции, или логического И, ? - знак дизъюнкции, или логического ИЛИ).
Закон достаточного основания предложен немецким философом Г. Лейбницем. Он требует, чтобы ни одно утверждение не признавалось справедливым без достаточного основания. Закон в целом не выражается какой либо формулой, его требования носят содержательный характер.
Двухпосылочные выводы называют силлогизмами Аристотеля. Конкретные типы силлогизмов называют модусами. В модусе всегда в посылках присутствуют три понятия (большой, средний и малый термины). Всего в силлогистике для четырех типов высказываний А, I, Е и О можно получить 256 различных модусов - правил вывода. В общем случае различают следующие рассуждения:
Индуктивные рассуждения от частного к общему отражают путь познания окружающего мира. Общие утверждения возникают при попытке обобщения частных, -
290
отражающих совокупность единичных фактов, полученных из опыта. Истинность общего утверждения будет очевидной, если частных утверждений, подтверждающих результат будет достаточно много и не будет опровергающих утверждений.
Полной индукцией называют рассуждения, в которых общее заключение о принадлежности некоторого свойства или признака предметам данного класса делается на основании принадлежности данного свойства или признака всем предметам данного класса. Полная индукция дает истинное знание при условии, что граница рассматриваемого класса объектов точно известна.
Неполная индукция - это перенос знаний, известных о части объектов данного класса, на все объекты данного класса. Она основывается на свойстве повторяемости признаков у сходных предметов. Однако здесь могут возникать ошибочные индуктивные заключения из-за применения второстепенных признаков в качестве существенных, т.е. в индуктивных рассуждениях из истинных посылок могут получаться ложные заключения.
Правдоподобные индуктивные рассуждения достигаются не только на основе выявления повторяемости признаков у объектов некоторого класса, но и их взаимосвязи и причинной зависимости между данными признаками и свойствами рассматриваемых объектов.
В индуктивных выводах используются различные методы установления причинно-следственных отношений. Формулируются они в виде принципов, основными из которых являются принципы: единственного различия, единственного сходства, единственного остатка, аналогии и другие.
Например, формулировка принципа единственного различия'. "Если после введения какого-либо фактора появляется или после удаления его исчезает известное явление, причем мы не вводим и не удаляем никакого другого обстоятельства, которое могло бы изменить в данном случае явления, и не производим никакого изменения среди первоначальных условий явления, то указанный фактор и составляет причину явления". Этот принцип можно описать следующим образом: Пусть в серии из п опытов А,В,С вызывают D; в другой серии из п опытов В,С не вызывают D. Тогда па основании наблюдений можно сделать следующий вывод: "Вероятно, А является причиной D".
Применяются также нечеткие выводы, когда истинность посылок принимается с некоторой степенью уверенности и заключение также выводимо из таких посылок с определенной степенью достоверности (вероятности). Нечеткие выводы имеют под собой математическое обоснование в виде теории нечетких множеств, основанной Л. Заде.
Основные идеи, лежащие в основе дедуктивных рассуждений, восходят к работам Аристотеля и состоят в следующем:
1) исходные посылки рассуждения являются истинными;
2) правильно применяемые приемы перехода от посылок к вытекающим из них утверждениям и из посылок и ранее полученных утверждений к новым вытекающим из них утверждениям должны сохранять истинность получаемых утверждений - истинные посылки порождают истинные следствия.
Наиболее важные практические результаты в СИИ получены при использовании дедуктивных рассуждений, на базе которых построено большинство логических систем представления знаний.
291
287 :: 288 :: 289 :: 290 :: 291 :: Содержание
