Факторизация гауссовых чисел

Напомним, что гауссовыми называются комплексные числа, у которых действительная и мнимая части являются целыми числами. Иными словами, это комплексные числа а+bi, у которых вещественная (а) и мнимая (b) части представляют собой целые числа. Вот примеры гауссовых чисел:

2, 1+2i, i, -i, 1+i, 1-i, 1+7i, 1+555555i, 9999+444i.

На комплексной плоскости гауссовы числа образуют решетку всех точек с целыми координатами. Гауссовы числа называются в честь К. Ф. Гаусса, который обратил на них внимание еще в 1832 году в работе о биквадратичных вычетах. Именно Гаусс понял важность изучения этих чисел и установил их основные свойства.

Как оказалось, множество гауссовых чисел, рассматриваемое с обычными операциями, образует кольцо, являющееся, конечно, подкольцом кольца (даже поля) комплексных чисел. Кольцо целых гауссовых чисел можно рассматривать как расширение кольца целых чисел Z путем присоединения i, поэтому это кольцо обозначается Z[i].

В этом кольце делителями единицы являются лишь +1, -1, i и -i. Так что множество  делителей единицы в кольце гауссовых чисел конечно. А потому в этом кольце имеет смысл понятие простого элемента, а, значит, можно выполнять разложение элементов этого кольца на простые множители. Нетрудно доказать, что кольцо целых гауссовых чисел евклидово. Поэтому с точностью до делителей единицы разложение на простые множители в нем единственно. Так что кольцо гауссовых чисел (как и всякое евклидово кольцо) является гауссовым, или факториальным.

Нормой комплексного числа называется квадрат модуля, т.е. квадрат длины отрезка, соединяющего комплексное число с началом координат. Иными словами, это сумма квадратов вещественной и мнимой частей комплексного числа:

N(a+bi) = (а+bi)(а-bi) = a2 +b2.

Нечетное простое число р является простым гауссовым числом тогда и только тогда, когда оно дает в остатке 3 при делении на 4: р = 3 (mod 4). Если же р = 3 (mod 4), то р не является простым в кольце целых гауссовых чисел. Не является простым в кольце целых гауссовых чисел и число 2.

Давайте теперь найдем несколько разложений гауссовых чисел на простые множители.

Factorlnteger[5-51]={(-1,1},{1+i,I},{1+2 i,1},{2+i,1}}

FactorInteger[3+1]={{-i,1},(1+i,1},{1+2 1,1)}

FactorInteger[-90-180I]={{1+i,2},{1+2 i,2},{2+i,1},{3,2}}

Factorlnteger[-182-1261]={{1+i,3},{2 + i,3},{7,1}}

FactorInteger[3+I5]={{1+i,1},{4+i,1}}

Factorlnteger[777+1111] ={{-1,1},{1+i,1},{1+6

i,l},{2+i,2},{3,l},{6+i,l}}

Factorlnteger[153+1 374]={{-i,l},{!+4 i,1},{2+i,1},{4+i,1},{8+7

i,l}}

Factorlnteger[7+81]={{7+8i,l}}

Число 7+8 i, как видим, оказалось простым. Заметьте, что Mathematica сама поняла, что разложение нужно выполнять в кольце целых гауссовых чисел. Но как разложить на простые множители в кольце целых гауссовых чисел натуральные числа? Ведь, например, FactorInteger[41] = {{41,1)}.

В подобных случаях, т.е. когда в качестве аргумента функции FactorInteger выступает рациональное вещественное число, а разложить аргумент нужно на простые гауссовы числа, область разложения нужно указать явно. Для этого необходимо с помощью второго аргумента функции FactorInteger установить опцию Gaussianlntegers равной True. Вот несколько примеров, в которых показано, как это делается.

Factorlnteger[41,GaussianIntegers->True]={{-1,1},{4+5i,l},{5+4i,lH

FactorInteger[5,GaussianIntegers->True]={{-i,l},{!+2i,i},{2+i,1}}

Factorlnteger[2,GaussianIntegers->True]={{-i,1},{1 + i,2}}

Factorlnteger[11,GaussianIntegers->True]={{11,1}}

FactorInteger[13,GaussianIntegers->True]={{-i,l},{2+3i,l},{3+2

i,l}}

Как видите, ничего сложного!

Содержание раздела

---

---