Алгебра и пакет Mathematica 5
Пифагоровы треугольники, у которых длины двух сторон выражаются простыми числами
Как известно, треугольники, у которых длины двух сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми. Хорошо известно, что длина ни одной из сторон пифагорового треугольника не может быть равна 2. Поэтому у пифагоровых треугольников длины сторон могут выражаться только нечетными простыми числами. А потому длина хотя бы одной из сторон пифагорова треугольника должна быть четной (по теореме Пифагора) и потому выражается составным числом. (Составным потому, что четным, отличным от 2.) Боле того, несложно доказать, что если р и q — длины сторон пифагорова треугольника, выражающиеся простыми числами, то
р2 = 2q -1.
И наоборот, если существуют такие простые числа р и q, что р2 = 2q - 1, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой q и катетом р второй катет равен
√q2 - р2 = q -1 ,
и потому такой треугольник будет пифагоровым. Для нахождения пифагоровых треугольников, у которых длины двух сторон выражаются простыми числами, можно применить функции
PrimeQ и NextPrime. Область поиска ограничим теми треугольниками, у которых меньший катет р не превосходит заданного числа п. Достаточно найти длину меньшего катета р и длину гипотенузы q, поскольку длина второго катета на единицу меньше длины гипотенузы: q-1
Порядок использования этой функции такой: сначала загрузить пакет теории чисел, а затем ввести это определение. Только после этого можно ее вызвать.
PythagorasTriangles[10000]
Результаты удобно отформатировать в виде таблицы .
Как видно из таблицы, таких треугольников совсем немного. Интересно, сколько же таких треугольников, у которых длина меньшего катета выражается не более чем n-значным числом? Давайте посчитаем. Вот нужная нам функция, которая печатает свой аргумент п, двоеточие : и количество найденных ею треугольников, меньший катет которых не превосходит n.
Теперь можем выполнить вычисления.
Do[NumberOfPythagorasTriangles[10^n],{n,9}]
Результаты отформатируем в виде таблицы.
