Алгебра и пакет Mathematica 5
         

Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])



Согласитесь, изучив все тонкости искусства составления таблиц простых чисел, было бы нелогично пренебречь искусством составления таблиц на основе уже созданных. Почему бы, имея полную (значит, бесконечную!) таблицу простых чисел, не поинтересоваться, сколько чисел в этой таблице не превосходят данного числа х. Иными словами, определить число простых чисел, не превосходящих х. Это число в учебниках теории чисел обозначается л(х). Функция п(х) привлекала внимание уже античных математиков. Евклид, например, установил, что она неограниченно возрастает с ростом аргумента. Изучением этой функции занимались почти все великие математики Прошлого, ее исследовали Лежандр, Чебышев, Риман, Адамар, Валле-Пуссен, Чудаков, Виноградов, Коробов, Литлвуд, Сельберг, Эрдеш, Ингам, Прахар, Пан Чен-тонг, Чен-ин-рун, Титчмарш, Мейссель, Рогель, Чипола, Мертенс, Гаусс, Бертран, Вейль, Линник, Бомбьери...

В системе Mathematica эта функция называется PrimePi. Система Mathematica может вычислить ее значения практически в мгновение ока... Правда, не все.
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
В документации, правда, верхний предел указан примерно равным 260, а на самом деле...
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Тем не менее не следует воспринимать ситуацию уж очень пессимистически. Давайте, например, построим графики функций Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) на промежутке (0, 100).
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Как видите, если не считать неприятностей с нулем, где Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) . Впрочем, вот график с интегральным логарифмом.
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Теперь даже в нуле неприятностей нет. Но вот вопрос: будет ли заметна ступенчатость на больших интервалах? На самом деле ступенчатость незаметна уже на интервале (0, 10000).
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Но какая же функция приближает Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) или Li(x)? Конечно, Li(x).
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Если же построить график на интервале (0, 10000), то графики Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Раз уж речь зашла о приближении k(х), давайте построим графики разности функции Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) (приближение Чебышева и Лежандра), в качестве второй — 1л(х) (приближение Гаусса), а в качестве третьей — R(x) (приближение Римана). Сначала определим функцию R(x). 

Riemann[x_]:= 
Last[Block[{R=LogIntegral[x],y=LogIntegral[Sqrt[x]]/2,n=2},

{While[y>0.000000001,{R=R-y; n=n+l;y=LogIntegral[х^(1/n)]/n}

],R} ]]

Теперь можем построить нужные нам графики.
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Как видим, из трех наилучшим является приближение Римана. И еще одно замечание. Как мы видели, график функции π(х) выглядит вполне гладко, хотя на самом деле он является ступенчатым. Более того, существуют сколь угодно длинные интервалы, на которых он горизонтален. Однако длина таких интервалов незначительна по сравнению с их расстоянием до начала координат. Это интервалы, на которых функция π(x) не изменяется. Иными словами, это интервалы, на которых нет простых чисел. Кстати, а как сосчитать количество простых чисел на интервале (а, b] ?


Содержание раздела



Главная сайта