Алгебра и пакет Mathematica 5



Функция Кармайкла λ(m) — CarmichaelLambda



Если а и т взаимно простые, то a4n-10 =}(modm). Но всегда ли φ(m) является наименьшим натуральным числом с таким свойством? Оказывается, нет. Например, для модуля 8 имеем следующую приведенную систему вычетов.

s=Select[Range[8],GCD[#,8]==!&]
{1,3,5,7} 

Квадраты этих вычетов сравнимы с 1 по модулю 8.

Mod[%-2,8]
{1,1,1,1} 


Однако

EulerPhi[8]
4 


Так что φ(8) не является наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим сравнению an =l(mod8) для всех а, взаимно простых с 8.

Значения, меньшие φ(n), иногда доставляет обобщенная функция Эйлера ). Вдвое меньшие значения для модулей, кратных 8, дает функция Люка φ(x). А наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению аi =1 (mod от) для всех а,

взаимно простых с т, обозначается N/n). Функция А. называется функцией Кармайкла. В системе Mathematica у нее имя CarmichaelLambda.

Вот как можно вывести те натуральные числа, для которых k(m)<<р(m).

Do[If[EulerPhi[n]!=CarmichaelLambda[n], 
Print[n,":",EulerPhi[n],":",CarmichaelLambda[n]]],{n,k=100}]


Выполните эту программу, и вы увидите, что их довольно много.

Пример 8.3. График функции Кармайкла.

Давайте теперь построим график функции Кармайкла. Сначала мы используем функции Table и CarmichaelLambda для построения таблицы tl (точнее, списка) значений функции Кармайкла.

tl= Table[CarmichaelLambda[k],
{k,1,n=10A3)]; 


Теперь можем использовать функцию ListPlot для построения графика.

А вот график для n = 100000.

Сравните эти графики с графиками функции Эйлера. Сразу видно, что лучи на графике функции Кармайкла прижимаются к оси абсцисс гораздо ближе, чем на графике функции Эйлера.