Алгебра и пакет Mathematica 5



Поле рациональных дробей



Дробь, числитель и знаменатель которой — полиномы, называется рациональной дробью. Уже знакомые нам функции Expand и Factor могут применяться к рациональным дробям. Функция Expand раскрывает произведения и целые положительные степени в числителе и представляет рациональную дробь в виде суммы дробей, знаменатели которых совпадают со знаменателем исходной рациональной дроби, а числителями этих дробей служат отдельные слагаемые в раскрытом числителе исходной рациональной дроби.

Функция Apart раскладывает рациональную дробь на простейшие.

Функция Factor, примененная к сумме рациональных дробей, приводит их к общему знаменателю и раскладывает на множители числитель и знаменатель полученной рациональной дроби:

Функция Together приводит рациональные дроби к общему знаменателю и после их сложения сокращает общие множители в числителе и знаменателе.

Общие множители в числителе и знаменателе рациональной дроби не сокращаются автоматически. Чтобы их сократить. прибегают к функции Cancel:

Можно раскрывать скобки только в числителе или только в знаменателе рациональной дроби. Для этого предназначены функции ExpandNumerator и Expand Denominator. Получить числитель и знаменатель рациональной дроби можно с помощью функций Numerator и Denominator, т.е. тех же самых функций, что используются для получения числителя и знаменателя рационального числа.

Для упрощения различных выражений, в том числе и рациональных, полезно применять функцию simplify, которая выполняет алгебраические преобразования над выражением и приводит его к простейшей (с точки зрения системы Mathematica) форме. Данную функцию удобно применять в постфиксной входной форме, т.е. приписывая ее имя после // в конце входного выражения:

Функцию Simplify можно применять также для упрощения выражений при определенных условиях. Вот пример.

Simplify[a^3+b^3+c^3-3*a*b*c,a+b+c==0]

0