Алгебра и пакет Mathematica 5



Исследование функций и построение графиков



Едва ли можно указать единую схему, пригодную для исследования абсолютно всех функций. Так что едва ли стоит удивляться, что в курсах анализа можно найти множество таких схем — от совсем кратких, похожих на весьма общие указания, до обширных, развернутых, с множеством всевозможных пунктов, в большинстве своем не имеющим никакого отношения к конкретной исследуемой функции. Однако все такие схемы обычно имеют несколько общих пунктов.

Определение интервалов возрастания и убывания функции

Найдем для примера интервалы возрастания и убывания функции у = x3-30x2+225x+l. Сначала определим функцию.

у=х^3-30*х^2+225*х+1
1 + 225 х - 30 х2 + х3 


Данная функция — многочлен, поэтому она всюду дифференцируема. Найдем ее производную.

D[y,x] 225 - 60 х + 3х2 


Так как и производная — многочлен, разложим его на множители.

Factor[%] 3 (-15+х) (-5+х)


Теперь видим, что производная отрицательна только на интервале (5; 15). На этом интервале функция, следовательно, строго убывает. На интервалах (-, 5) и (15, ) производная положительна. Поэтому на этих интервалах функция строго возрастает.

Нахождение локальных экстремумов

У рассмотренной нами функции у = х3-30x2+225с+1 производная обращается в нуль в точках х= 5 и х= 15. Поскольку это простые нули производной, то именно эти точки и являются точками ее локального экстремума. Легко вычислить значения функции в этих точках и построить ее график.

Вот более сложный пример. Пусть нужно найти локальные экстремумы функции 

Определим нашу функцию в системе Mathematica.

y1=((l-x) (х-2)^2)^(1/3)
((1-х) (-2 + х)2)1/3 


Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Находим ее производную.

Видим, что производную можно упростить, поэтому применяем функцию FullSimplify. (Вообще говоря, это лучше делать всякий раз, когда вычисляются производные.)

Видим, что в точках х = 1 и х = 2 производная не существует, а в нуль обращается только в точке х = 4/3. Поэтому только эти точки и являются критическими для данной функции. Однако при переходе через точку х — \ производная не меняет знака, поэтому она не является точкой экстремума. При переходе через точку х = 4/3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум. При переходе через точку х = 2 производная меняет знак плюс на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум. Вычисляем минимум и максимум.

Так что локальный минимум равен 

Точно так же вычисляется и локальный максимум.

y1/.x->2
0 


Вот график данной функции.

Заметьте, что для построения графика знак подкоренного выражения пришлось вынести из под корня, благодаря чему подкоренное выражение оказалось неотрицательным.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов)

Если область определения дифференцируемой функции состоит из нескольких отрезков, то, чтобы найти ее глобальные экстремумы, можно сначала найти ее локальные экстремумы, а затем значения на концах отрезков. Из этих значений и нужно выбрать наибольшее и наименьшее. В общем, нет ничего сложного, если, конечно, все вышеперечисленные операции выполняются без проблем.

Нахождение интервалов выпуклости и точек перегиба

Найдем интервалы выпуклости и точек перегиба функции y2= х4-6х2—6х+1. Сначала введем функцию в систему Mathematica.

y2=x^4-6x^2-6x+1
1-6х-6х2 + х4 


Теперь находим вторую производную.

D[y2,{x,2}]
-12 + 12 х2 


Так как вторая производная положительна при |x| >1, то (-, -1) и (1, ) — интервалы выпуклости вниз, а (-1, 1) — интервал выпуклости вверх. Поскольку в точках х = -1 и х = 1 функция меняет направление выпуклости, эти точки являются точками перегиба. Впрочем, в этом можно убедиться и иначе: третья производная

0[у2,{х,3}]/.х->1 24
0[у2,{х,3}]/.х->-1 -24


в этих точках отлична от 0.

Вот график функции