Нахождение решений дифференциальных уравнений

Решает дифференциальные уравнения функция DSolve.

Пример 10.4. Решим уравнение у'''+4у' = sec 2t.

Решение. Конечно, это линейное дифференциальное уравнение третьего порядка. Поэтому его решение содержит три произвольные постоянные и является суммой какого-нибудь решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Однако система Mathematica знает все это и без нас и выдает решение сразу.

Как видите, система Mathematica обозначает произвольные постоянные через С[1],С[2],С[3] и т.д.

Пример 10.5. Решим уравнение 4у'²-9х = 0. Решение.

yh=DSolve[4y'[х]^2-9х == 0,у[х], х]

{{у[х] ->-х^3/2+С[1]},{у[х]->х^3/2+С[1]}}

Заметьте, что в учебниках и задачниках это решение обычно записывается в неявной форме: (у-C)² = х³

Пример 10.6. Решим уравнение х = y'+sin у'. Решение.

Как видим, в данном случае функция DSolve с поиском решения не справилась. Тем не менее решение может быть представлено в параметрической форме: х = p+sin р, у = p²/2+psin p+cos р+С.

Впрочем, не спешите обвинять функцию DSolve — ведь решение записано нами не в виде явной функции!

Вот еще один пример, когда решение находится как неявная функция.

Однако не следует думать, что функция DSolve сдается, если не может найти решение в элементарных функциях. Это далеко не так. Она старается применить специальные функции, о чем свидетельствует приведенный ниже пример.

Как видите, в данном случае существенно использованы функции Бесселя.

Но все же есть случай, когда функция DSolve сдается сразу. Это происходит, если в качестве аргумента искомой функции используется выражение, не совпадающее с независимой переменной. (Такие уравнения называются функционально-дифференциальными. К счастью студентов, такие дифференциальные уравнения часто представляют собой крепкий орешек и для профессоров, поэтому в задачниках (а не в жизни!) таких уравнений встречается не очень много.)

Как видим, функция DSolve не может решить всех дифференциальных уравнений. Тем приятнее узнать, что она умеет решать некоторые уравнения в частных производных.

Заметьте, что фиктивные переменные, по которым производится интегрирование, обозначены в решении через K$номер.

Ниже приведен пример решения задачи Коши с помощью все той же функции

Часто решение дифференциального уравнения имеет довольно громоздкий вид, и по нему представить поведение интегральных кривых довольно сложно. В этих случаях полезно построить график решения, т.е. вычертить интегральную кривую.

Пример 10.7. Построение графика решения дифференциального уравнения. Решим дифференциальное уравнение

Сначала с помощью функции DSolve находим решение.

Найдя решение, можем построить его график. Для этого придется, конечно, задать значения произвольных постоянных. В данном случае это уравнение первого порядка, и потому у него только одна произвольная постоянная: с [ 1 ]. Ее значение удобнее всего задать подстановкой.

Иногда приходится строить графики решений, получающихся при различных значениях произвольных постоянных. Тогда нужно в подстановке указать список значений. Пусть, например, нужно построить графики решений для следующих значений произвольной постоянной с [ 1 ].

Тогда это можно сделать так.

Пример 10.8. Построение графика решения задачи Коши. Найдем решение задачи Коши для дифференциального уравнения у"= ау'+у с параметром и построим график его решения для нескольких значений параметра.

Сначала с помощью функции DSolve находим решение задачи Коши.

Теперь можем построить графики.

Все построенные решения проходят через точку (0, 1) и в этой точке имеют общую касательную, параллельную оси абсцисс.
Содержание раздела